Question

Fie mulţimea A = {1,2,3,4,5} . Să se determine numărul funcţiilor bijective f:A →A , cu proprietatea că f(1)=2
Va roog ajutati ma sa inteleg genul acesta de exercitii :(

Answer 1

Salut,

La astfel de probleme, trebuie să folosești regula produsului.

Funcția f(x) este bijectivă, deci ecuația f(x) = y are exact o soluție (nici mai multe, nici mai puține), oricare ar fi y din codomeniu, cu x aparținând domeniului.

Apoi, trebuie să iei pe rând fiecare valoare din codomeniu;

f(1) poate lua o singură valoare, pe 2, conform enunțului, deci pentru f(1) avem o valoare posibilă.

f(1) poate lua o singură valoare, pe 2, conform enunțului, deci pentru f(1) avem o valoare posibilă.

f(2) ar lua teoretic toate cele 5 valori din codomeniu, dar nu poate lua valoarea 2, deci pentru f(2) avem 5 -- 1 = 4 variante posibile, independente de valoarea pe care o ia f(1).

f(3) ar lua teoretic toate cele 5 valori din codomeniu, dar nu poate lua valorile pe care le iau f(1) și f(2) (dacă ar fi așa, funcția nu ar mai fi bijectivă), deci pentru f(3) avem 5 -- 2 = 3 variante posibile, independente de valorile pe care le iau f(1) și f(2).

f(4) ar lua teoretic toate cele 5 valori din codomeniu, dar nu poate lua valorile pe care le iau f(1), f(2) și f(3) (dacă ar fi așa, funcția nu ar mai fi bijectivă), deci pentru f(4) avem 5 -- 3 = 2 variante posibile, independente de valorile pe care le iau f(1), f(2) și f(3).

f(5) ar lua teoretic toate cele 5 valori din codomeniu, dar nu poate lua valorile pe care le iau f(1), f(2), f(3) și f(4) (dacă ar fi așa, funcția nu ar mai fi bijectivă), deci pentru f(5) avem 5 -- 4 = o variantă posibilă, independentă de valorile pe care le iau f(1), f(2), f(3) și f(4).

Aplicăm regula produsului: 1*4*3*2*1 = 24 de funcții bijective, cu proprietatea din enunț.

Nu e chiar așa de greu, nu ?

Green eyes.

Answer 2

prin definitie numarul aplicatiilor bijective ale unui multimi finite ,de n elemente , pe ea insesi se numeste  PERMUTARI de n si este =1*2*...*n=n!

in cate feluri poti sa asezi numarul 1? in 1 fel
in cate feluri potisa asezi numerele 1si2?
in 2 feluri 1 ;2 sau 2;1 cum le (per)muti

in cate feluri potisa asezi 3 numere 1,2,3??
pt asta trebuie sa te gandesti in cate locuri il poti pune pe 3 fatde "pachetul" 1; 2, deja discutat
 in 3 feluri : in fata "pachetului" , intre cele 2 elemente, sau la coada pachetului..
dar pachetul 1 2 se putea aseza deja in 2  feluri 12 sau 2 1 cum am rata t maisus
deci numerrele123 se pot aseza in 3+3=2*3= 6 feluri
 cu "pachetul " anterior in forma 12
312
132
123

si respetiv, daca ;pachetul" este i  n forma21
321
231
213


buun , dar daca avem 4 numere?
 nou venitul numar  4 se poate aseza in 4 locuri fata de "pachetul " 123 despre caredeja stim ca se poate muta in 6 feluri
deci intotal; 4*6=24 feluri
sui asa se poate demonstra prin inductie matematica zisa completa , ca n elemente pot fi (per)mutate in 182*3*...*n=n! feluri


Buuuuuun
 la problema noastra
ar parea ca avem 5 elemente...capcanaaaaaa!
 pt ca un element si corespunzatorul lui sunt fixate, de fapt avem numai 4 elemente care iau valori in alte 4 elemente(nu conteza ca difera ..lui 1,3, 4 ,5 poti sale zici "primul" "al doilea" 'al treilea" al patrulea" tot un fel de 1,2,3 ,4 sunt...chiar daca.. nu sunt ::))
decide fapt avem numarul aplicatiilor bijective ale unei multimide PATRU elemente pe ea insasi (desinu e ea insasi)..sau gadeste-te ca putea sa  ii zica f(1)=1 si atunci aveai {2;3;4;5}->{2;3;4;5}, sau,  mai clar, f(5)=5 si atunci aveai {1;2;3;4}->{1;2;3;4} suuper clar P4=4!

toate povestile de mai sus (din care tu la BAC., la subiectul 1, nu trebuie sa scrii decat esenta, 5-10 cuvinte, fie permutari, fie dand valori sucecsive, 1*4*3*2*1, ca in solutia lui Green-Sharp Clear-  Eyes) sunt ca sa iti spuna ca este vba despre P4, adica
 4!=1*2*3*4=24 de functii bijective