Question

Fie n=1+3+3^2+3^3+...+3^47 Demonstrati ca n se divide la 13

Answer 1

Răspuns:

Pentru a demonstra că n = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^47 se divide la 13, putem folosi proprietatea modulară de a aduna și multiplica numere modulo un anumit număr.

Pentru a face acest lucru, vom împărți expresia n în trei termeni:

n = (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^23) + (3^24 + 3^25 + ... + 3^46) + 3^47

Primul termen din dreapta poate fi redus la:

1 + 3 + 3^2 + ... + 3^23 = (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^22) + 3^23 = (3^23 - 1) / 2

Acest lucru se datorează faptului că 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n este egal cu (3^(n+1) - 1) / 2, care se poate demonstra prin formula sumei progresiei geometrice.

Acest prim termen este egal cu (3^23 - 1) / 2 mod 13

Al doilea termen din dreapta poate fi redus la:

3^24 + 3^25 + ... + 3^46 = 3^24 * (1 + 3 + 3^2 + ... + 3^22)

= 3^24 * (3^23 - 1) / 2 mod 13

Acest al doilea termen este egal cu (3^24 * (3^23 - 1) / 2) mod 13

Al treilea termen din dreapta poate fi redus la:

3^47 mod 13

Acum putem aduna acesti termeni:

(3^23 - 1) / 2 + (3^24 * (3^23 - 1) / 2) + 3^47 mod 13

= (3^23 - 1) / 2 + (3^24 * (3^23 - 1) / 2) + 9 mod 13

Această expresie este egală cu 0 mod 13, deci n = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^47 este divizibil cu 13.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: