Question

Fie n > 3 un numar natural. Consideram n numere reale cu proprietatea ca oricum am alege unul dintre ele, suma celor n - 1 numere ramase este egala cu numarul ales. Demonstrati ca toate cele n numere sunt egale cu 0.

Answer 1

Consideram sirul $( a_{n} ) _{n>3}$ si $S = a_{1} +a_{2}+...+a_{n}$
Din ipoteza ⇒ $a_{k} =S- a_{k}$⇒$2a_{k} =S$
Din relatia anterioara⇒$a_{1} =a_{2}=...=a_{n}$
Presupunem ca $a_{k} \neq 0,$$( a_{1}=..=a_{k}=..=a_{n} )$,$S=n a_{k}$,cum $a_{k}=S-a_{k}=na_{k}-a_{k}=(n-1)a_{k}$⇒$n-1=1,n=2$,ceea ce contrazice ipoteza.Deci,presupunerea este falsa si termenii sirului sunt egali cu 0