Question

Fie un triunghi ABC cu [ AD } inaltime si E , respectiv F ,piciorul perpendicularei din D pe AB , respectiv AC .Dem ca: a) daca DE=DF atunci ABC triunghi isoscel ; b)daca ABC este isoscel atunci DE=DF

Answer 1

Avem că De perpendicular pe AB și DF perpendicular pe AC, deci m(DEA)= m(DFA)= 90 de grade. Rezultă că ΔAED și Δ AFD sunt triunghiuri dreptunghice.
Sunt congruente conform cazului C.I.(DE= DF,AD ipotenuza comună)
AD înălțime în ABC, deci m(ADB)= 90,
avem că unghiul BED și AED sunt complementare (deci au suma 90)
și mai avem că unghiul CFD și AFD sunt complementare.
AED= AFD (au aceeași măsură), deci obligatoriu m(BED)= m(CFD)
Fie triunghiurile BED și CFD(dreptunghice în E și F)
DE= DF
m(BED)= m(CFD)
Conform cazului C.I triunghiurile sunt congruente
De unde rezultă că m(EBD)= m(FCD), deci m(B)=m(C), iar triunghiul ABC este isoscel.
b) ABC isoscel( se merge în sens invers)
m(B= m(C), iar BD= DC(AD este și mediatoare), se demonstrează congruență acelorași triunghiuri și se ajunge la DE= DF