Question

Fie x = abcd cu bara deasupra +dcba cu bara deasupra a) aratati ca x este divizibil cu 11 , oricare ar fi abcd cu bara deasupra b) Cate nr de de forma abcd cu bara deasupra exista , astfel incat x sa fie divizibil cu
7

Answer 1

abcd cu bara =1000a+100b+10c+d
dcba=1000d+100c+10b+a
abcd+dcba=1001a+110b+110c+1001d=11(91a+10b+10c+91d)divizibil cu11
b) daca x=abcd+dcba=11(91a+10b+10c+91d) divizibil cu 7⇒ 91a+10b+10c+91d divizibil cu 7
7(13a+13d)+ 10(b+c) =7*13(a+d)+10(b+c)⇒b+c trebuie sa fie divizibil cu 7, iar a si d cifre nenule : a+d sunt 45 de combinatii
(pt ca apar pe primul loc intr-un nr)
b+c=7 0+7, 1+6, 2+5, 3+4
a=1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ⇒9 cifre
d tot 9 cifre

b+c in 4 combinatii
avem pentru b+c=7 45*4=180 de numere
b+c=14 5+9, 6+8, 7+7 3 combinatii
pentru a+d avem 45 de combinatii
deci pentru b+c=14, avem 45*3=135 numere
in total 180+135=315numere x