Question

Hei .. cum se demonstreaza ca in orice triunghi ABC avem: a$<var>a^{2} + b^{2} +c^{2}=4S(ctgA +ctgB+ctgC) Unde S=aria</var>$

Answer 1

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \\ \\ a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C) \\ \\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2=2(bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C).\text{[1]}$

Pe de altă parte, $2S=ab\sin C=bc\sin A=ac\sin B.$

$bc\cos A+ac\cos B+ab\cos C=$
$=bc\sin A\cot A+ac\sin B\cot B+ab\sin C\cot C= \\ =2S\cot A+2S\cot B+2S\cot C.$

Înlocuind în relația [1], obținem:

$a^2+b^2+c^2=4S(\cot A+\cot B+\cot C).$