Question

help
${3}^{x} + {4}^{x} + {5}^{x} < {6}^{x}$
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

1. Pentru x=4, avem 3⁴+4⁴+5⁴<6⁴ este adevarat

2. admitem ca este adevarat pentru x=n, atunci 3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ<6ⁿ

3. Sa demonstram ca este adevarat si pentru x=n+1

3ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹+5ⁿ⁺¹<6ⁿ⁺¹

3ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹+5ⁿ⁺¹=3·3ⁿ+4·4ⁿ+5·5ⁿ=3·3ⁿ+3·4ⁿ+3·5ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+5ⁿ=

=3·(3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ)+(4ⁿ+5ⁿ)+5ⁿ;

6ⁿ⁺¹=3·6ⁿ+3·6ⁿ.

Deoarece 3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ<6ⁿ, atunci 3·(3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ)<3·6ⁿ

Deoarece 3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ<6ⁿ, atunci 4ⁿ+5ⁿ<6ⁿ

Deoarece 3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ<6ⁿ, atunci 5ⁿ<6ⁿ

Adunand parte cu parte inegalitatile adevarate vom obtine o inegalitate adevarata

3·(3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ) + 4ⁿ+5ⁿ + 5ⁿ < 3·6ⁿ + 6ⁿ + 6ⁿ= 5·6ⁿ<6·6ⁿ=6ⁿ⁺¹

Deci 3ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹+5ⁿ⁺¹<6ⁿ⁺¹

Deci inegalitatea este adevarata pentru orice x>3