Question

In exteriorull triunghiului echilateral ABC de latura a se construiesc patratele ABMN,BCRS si CAPQ. Calculati aria poligonului MNPQRS.

Answer 1

Poligonul MNPQRS- hexagon=> Aria=3Rla puterea a2a, radical din 3/2 R-raza cercului circumscris=latura hexagonului MNPQRS-hexagon regulat (are toate unghiurile egale cu 120 pt ca triunghiurile NAP, MBS,RCQ,-congruente cu doua unghiuri de 30°, patratele formate au unghiurile de 90° 90+30=120 => laturie hexagonului=laturile patratului=laturile triunghiului=a => Aria= 3a la puterea a doua, radical din 3/2

Answer 2

Poligonul este format din triunghiul echilateral ABC, cele 3 pătrate și 3 triunghiuri isoscele congruente, cu câte două laturi egale cu a și unghiul dintre ele de 120 grade. Să calculăm aria unui asemenea triunghi, de exemplu PAN.
Ducem AT perpendiculară pe PN. În triunghiul dreptunghic ATN, cu unghiul PNT de 30 de grade avem $AT=\frac{a}{2}$. Aplicând Pitagora se calculează $TN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, deci $PN=a\sqrt{3}$
Deci $A_{APN}=\frac{a\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Atunci aria poligonului este
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2+3\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2(3+\sqrt{3})$