Question

În figura 10, AB si CD sunt două coarde paralele ale cercului (0,r), astfel încât O e Int(ABCD). Se ştie că r=8 cm, AB = 8 cm şi CD= 4√13 cm. Aflati distanţa dintre dreptele AB şi CD. ​

Answer 1

Din teorie ar trebui să știi că:

• Dacă un trapez este înscris într-un cerc, atunci el este trapez isoscel.
• Centrul cercului circumscris se află pe mediatoarea bazelor.

(Dacă nu le-ai învățat, le găsești demonstrate, pe scurt, mai jos și ar trebui să incluzi aceste demonstrații în rezolvarea problemei.)

Rezolvarea problemei:

Notăm cu M mijlocul lui DC și cu N mijlocul lui AB.

⇒ MN mediatoarea bazelor și O ∈ MN

M ∈ DC, MN⊥AB, DC║AB  ⇒ distanța dintre AB și CD = [MN]

[MN] = [MO] + [NO]

lungimea [MO] o calculăm cu Pitagora în ΔDOM dreptunghic în M

DO raza = 8 cm

DM = DC / 2 = 2√13

MO² = DO² - DM²

MO² = 8² - (2√13)² = 64 - 52 = 12

MO = √12 = 2√3

lungimea [NO] o calculăm cu Pitagora în ΔAON dreptunghic în N

(sau poți aplica formula pentru înălțimea în triunghi echilateral: h = l√3 / 2)

AO raza = 8 cm

AN = AB / 2 = 4

NO² = AO² - AN²

NO² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48

NO = √48 = 4√3

MN = MO + NO

MN = 2√3 + 4√3

MN = 6√3

__________________

Demonstrațiile pe scurt pentru:

• Dacă un trapez este înscris într-un cerc, atunci el este trapez isoscel.

Se trasează o diagonală a trapezului și se folosesc unghiurile formate de diagonală cu bazele.

diagonala secantă, bazele paralele ⇒ unghiurile sunt congruente

⇒ ele întind arce congruente

⇒ coardele care întind arcele sunt congruente (laturile neparalele ale trapezului

⇒ trapezul este isoscel

• Centrul cercului circumscris se află pe mediatoarea bazelor.

cercul care înscrie trapezul înscrie și cele două triunghiuri formate de una din diagonale cu bazele

pentru fiecare din aceste două triunghiuri, centrul O al cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor

printr-un punct se poate duce o singura perpendiculară pe două drepte paralele ⇒ mediatoarele bazelor coincid și includ O