Question

In patrulaterul Convex ABCD,se știe ca:AB=AD,BC=CD,m(ACD)=20'(grade) sin m(CAD)=80'(grade).Determinati
a)măsurile unghiurilor patrulaterului
b)măsura unghiurilor dintre diagonale

Answer 1

Ai deja masurile a doua unghiuri din triunghiul $\triangle{ACD}$ Toate unghiurile unui triunghi fac 180 de grade impreuna, deci $\angle{ADC}=180=\angle(CAD)-\angle{ACD}=180-20-80=80$ Apoi, putem observa ca triunghiurile $\triangle{ADC} \triangle ABC$ au fiecare latura AC comuna si celelalte laturi sunt egale: AB=AD si BC=CD. Asta demonstreaza ca triunghiurile sunt congruente, si toate unghiurile sunt egale intre ele corespunzator:

$\angle{ABC}=\angle{ADC}=80 \angle{BAC}=\angle{CAD}=80 \angle{BCA}=\angle{ACD}=20$. De aici, avem deja doua unghiuri ale patrulaterului:

$\angle{ABC}=\angle{ADC}=80$, si le putem afla pe celelalte doua prin adunarea unghiurilor mai mci

$\angle{BAD}=\angle{BAC}+\angle{CAD}=80+80=160 \angle{BCD}=\angle{BCA}+\angle{ACD}=20+20=40$
Mai verificam o data la final ca suma unghiurilor patrulaterului da 360 de grade cum trebuie:

$\angle{BAD}+\angle{ADC}+\angle{BCD}+\angle{ABC}=160+80+40+80=360$

b) Triunghiul ABD este isoscel, cu AB=AD si ABD=ADB=10 grade, avand in vedere ca BAD=160. De aici, luam intersectia diagonalelor ca fiind M, deci lutem considea triunghiul ABM. Stim deja ca ABM=10 si BAM=BAC=80, de unde rezulta ca ABM=180-80-10=90 Atunci, cele doua diagonale sunt perpendiculare una pe celalalta, toate unghiurile sunt de 90 de grade