Question

In trapezul dreptunghic ABCD,AB//CD,se stie ca m(B)=60 , AC perpend pe BC si lungimea segmentului de pe linia mijlocie cuprins intre diagonale este de 35 cm.Sa se calculeze lungimile bazelor trapezului

Answer 1

Hai sa notam mijloacele lui AD si BC cu punctele E si F
Atunci segmentul EF este linia mijlocie a trapezului
EF intesecteaza diagonalele AC si BD in punctele G si H, atunci GH este segmentul de linie mijlocie cuprins intre diagonale, deci GH=35
Daca iei triunghiul ADB, EH este linie mijlocie paralela cu AB, atunci stim ca
$EH=\frac{AB}{2}$
De asemenea, daca luam triunghiul ADC, vedem ca EG este linie mijlocie paralela cu CD, atunci stim ca
$EG=\frac{CD}{2}$ de unde rezulta
$GH=EH-EG=\frac{AB}{2}-\frac{CD}{2}=\frac{AB-CD}{2}=35$
De aici rezulta ca $AB-CD=2*35=70$

Ducem inaltimea trapezului din C pe AB si o notam cu M. Atunci, se formeaza dreptunghiul AMCD, unde AM=CD
Atunci stim ca MB=AB-AM=AB-CD=70

Triunghiul CMB este dreptunghic cu $\angle{CMB}=90$ si $\angle{CBA}=\angle{CBM}=60$ Stim ca ipotenuza este BC iar catetele sunt CM si MB de asemenea mai stim ca: $cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}$

Daca aplicam cos pentru unghiul stiut: $\cos{CBM}=\frac{MB}{BC}=\cos{60}=\frac{1}{2}$ De unde rezulta ca $BC=2MB=140$

AC perpendicular pe BC, deci de asemenea ACB este dreptunghic cu $\angle{ACB}=90$ si $\angle{CBA}}=60$ catetele sunt AC si CB cu AB ipotenuza

Atunci avem $\cos{CBA}}=\frac{BC}{AB}=\cos{60}=\frac{1}{2}$ de unde reiese ca: $AB=2BC=280$
atunci AB-CD=70, rezulta ca CD=AB-70=280-70=210