Question

In triunghiul ABC, echilateral se iau punctele M∈[AB], N∈[BC] si P∈[AC] astfel incat MN || AC si NP || AB. Daca AN∩MP={O}, demonstrati:

a) O este mijlocul lui [AN];

b) m(<MNP)=m(<MAP);

c) MN+NP=BC.

Answer 1

In patrulaterul AMNP avem din enunt :
MN ll AP  si  NP ll AM
=> patrulaterul AMNP este paralelogram.
Intr-un paralelogram, diagonalele se injumatatesc prin intersectare.
=> a)  O este mijlocul lui AN
Intr-un paralelogram, unghiurile opuse sunt egale.
=> b)  <MNP = <MAP

c)
MN ll AC  =>  ΔBMN este echilateral  => MN = BN
NP ll AB  =>   ΔCNP este echilateral  => NP = NC
=>  MN + NP = BN + NC = BC
=> MN + NP  = BC