Question

In triunghiul ABC se cunosc a=10, b=5, c=radical din 50. Sa se calculeze cos(B+C) și sin(2A+B). Ajutați ma, va rog!

Answer 1

Pentru început, ne trebuie sinusul și cosinusul fiecărui unghi. 

Din teorema cosinusului=>

$cosA= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\\\cosB= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\\\cosC= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Prin înlocuire, lui a cu 10, b cu 5 si c cu $\sqrt[]{50}$ , rezultă:

[tex]cosA=- \frac{\sqrt{2}}{4} \\\\ cosB= \frac{5 \sqrt{2} }{8} \\\\ cosC= \frac{3}{4} [/tex]

Ca să aflăm sinusurile aplicăm formula: $sinx= \sqrt{1-cos^2x}$

Deci:

$sinA= \sqrt{1-cos^2A} =\sqrt{1-(- \frac{ \sqrt{2} }{4})^2}= \sqrt{1- \frac{2}{16} } = \frac{ \sqrt{14} }{4} \\\\ sinB=...= \frac{ \sqrt{14} }{8} \\\\ sinC=\frac{ \sqrt{7} }{4}$

Avem nevoie de următoarele formule:
[tex]cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny\\\\ sin(x+y)=sinxcosy+sinycosy\\\\ sin(2x)=2sinxcosx[/tex]

Deci:

[tex]cos(B+C)=cosAcosB-sinAsinB [/tex]

Iar prin inlocuire rezultă:
[tex]cos(B+C)= \frac{5 \sqrt{2} }{8}*\frac{3}{4}-\frac{ \sqrt{14} }{8}*\frac{ \sqrt{7} }{4}\\\\ cos(B+C)= \frac{15 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}}{32}= \frac{8 \sqrt{2} }{32} = \frac{ \sqrt{2} }{4} [/tex]

Pentru $sin(2A+B)$ folosim formula $sin(x+y)=sinxcosy+sinycosy$

Deci:
$sin(2A+B)=sin(2A)cosB+sinBcos(2A)$

Observăm că nu cunoaștem sin(2A), pe care-l calculăm cu formula $sin(2x)=2sinxcosx$

Așa că:
[tex]sin(2A)=2sinAcosA=2*\frac{ \sqrt{14} }{4}*(- \frac{\sqrt{2}}{4})=- \frac{2 \sqrt{7} }{8} =- \frac{\sqrt{7} }{4}\\\\ cos(2A)= \sqrt{1-sin^2A} = \sqrt{1-(- \frac{\sqrt{7} }{4})^2}= \sqrt{1- \frac{7}{16}}= \sqrt{ \frac{9}{16} } = \frac{3}{4} [/tex]

[tex]sin(2A+B)=sin(2A)cosB+sinBcos(2A)\\\\ sin(2A+B)=(- \frac{\sqrt{7} }{4})*\frac{5 \sqrt{2} }{8}+\frac{ \sqrt{14} }{8}*\frac{3}{4} = \frac{3 \sqrt{14}-5 \sqrt{14} }{32} =- \frac{2 \sqrt{14} }{32} =- \frac{ \sqrt{14} }{16} [/tex]