Question

La punctul c) am încercat să folosesc proprietatea de la punctul b), nu așa trebuie rezolvat?

Answer 1

Te poti folosi de acea relatie pentru a simplifica suma
Daca
$A^{2}+A^{3}=O_{2}$ putem inmulti relatia cu A la orice putere
$A^{2}*A^{n}+A^{3}*A^{n}=)_{2}*A^{n}\Rightarrow A^{n+2}+A^{n+3}=O_{2}$
Mai mult,putem observa in sir ca fiecare coeficient al lui A este egal cu exponentul sau
$(n-1)A^{n-1}+n*A^{n}=(n-1)A^{n-1}+(n-1)A^{n}+A^{n}=(n-1)A^{n}+A^{n}=(n-1)O_{2}+A^{n}=A^{n}$
Atunci putem lua fiecare pereche consecutiva: (3,4),(5,6),(7,8),(9,10), aplicam regula observata mai sus si o sa obtinem la sfarsitul adunarii A la exponentul par
$A+2A^{2}+3(A^{3}+A^{4})+A^{4}+..+9(A^{9}+A^{10})+A^{10}=A+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}$
Acum, relatia de la b tu ai dedus-o folosindu-te de faptul ca
$A+A^{2}=O_{2}\Rightarrow A^{2}=-A$
Deci putem folosi aceasta relatie sa simplificam si mai mult relatia
$-A^{2}+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}=A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}$
Acum sa vedem ce se intampla cand inmultim A^{2} cu A^{2}
$A^{4}=A^{2}*A^{2}=(-A)*(-A)=A^{2}$
Deci daca inmultesti pe A^{2} cu el insusi, il obtii tot pe el. Si fiecare dintre termenii din suma sunt inmultiri succesive ale lui A^{2}. Deci la final
$A^{2}+2A^{2}+A^{4}+A^{6}+A^{8}+A^{10}=A^{2}+A^{2}+A^{2}+A^{2}+<span>A^{2}=5A^{2}</span>$