Question

Ma poate ajuta cineva, va rog, la punctele b si c? :) Au fost la o simulare de bac si m-au cam incurcat 

Answer 1

$I_n= \int\limits^1_0 {x^ne^{2x}} \, dx$



b) $2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2$

$I_{n+1}= \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx$

Facem integrarea prin părţi:

$\int\limits^1_0 {x^{n+1}*\frac{e^{2x}}{2}} =\frac{1}{2} x^{n+1}*e^{2x}|_{0}^{1} - \frac{1}{2}\int\limits^1_0 {(x^{n+1})'*e^{2x}}$

$=\frac{1}{2}*e^2 - \frac{1}{2}*\int\limits^1_0 {(n+1)x^n*e^{2}}=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}(n+1)I_n$

În cerinţă avem $2I_{n+1}$, deci înmulţim chestia de mai sus cu 2:

$2I_{n+1}=e^{2}-(n+1)I_n$

=> $2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{2}-(n+1)I_n + (n+1)I_n=e^2$ qed



c) Ne folosim de punctul anterior, de unde îl scoatem pe $(n+1)I_n$:

$2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2 => (n+1)I_n = e^2 - 2I_{n+1}$

Îl înlocuim în acea inecuaţie:

$1 \leq e^2 - 2I_{n+1} \leq e^2$

Faptul că $e^2 - 2I_{n+1} \leq e^2$ este evident că e adevărat, deci rămâne doar să mai demonstrăm prima parte, adică:

$1 \leq e^2-2I_{n+1}$ | Îl separăm pe $2I_{n+1}$

$2I_{n+1} \leq e^2-1$


Acum ne construim acea formă din integrala iniţială pornind de la faptul că x∈[0,1]:

$0 \leq x \leq 1$  | ridicăm la puterea (n+1) termenii

$0^{n+1}\leq x^{n+1}\leq 1^{n+1}$

$0\leq x^{n+1}\leq 1$ | Înmulţim cu e^{2x}

$0 \leq x^{n+1}*e^{2x}\leq e^{2x}$ | Aplicăm integrală de la 0 la 1 după care înmulţim cu 2:

$0 \leq 2 \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx$

Prima parte nu ne interesează, deci rămânem cu:

$2\int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx$  (unde termenul din stânga reprezintă $2I_{n+1}$.

=> $2I_{n+1} \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx= e^2-1$ qed