Question

O carte are paginile numerotate de la 1 la n, n€N. Se aduna numerele de pe toate paginile si se obtine suma 1999 . Din greseala s-a omis o pagina.
Sa se afle n si numarul paginii omise.

fara metode babesti :)
ms :)

Answer 1

Notez cu x pagina lipsa. (Evident 1≤x≤n.)

Avem: $\frac{n(n+1)}{2} -1999=x => 1 \leq \frac{n(n+1)}{2} -1999 \leq n$. Inmultim dubla inegalitate cu 2, si obtinem:

$2 \leq n(n+1)-3998 \leq 2n$. Adun 3998 in toti membrii:

$4000 \leq n(n+1) \leq 2n+3998$

Din $4000 \leq n(n+1) =>n \geq 63$ $(*)$

$n(n+1) \leq 2n+3998<=> n^{2} +n \leq 2n+3998<=> n^{2} -n \leq 3998 \\ <=>n(n-1) \leq 3998, de~unde~n \leq 63.$ $(**)$

Din (*) si (**) => n=63. Cartea are 63 de pagini.

Se calculeaza suma 1+2+3+...+63 prin formula lui Gauss, si se obtine S=2016.

x=S-1999=17. Pagina lipsa este pagina 17.

*Interesant faptul ca daca se omite o pagina, cea de pe spate nu se omite.