Question

O furnica se deplaseaza pe un fir de ata plecand de la momentul de timp 0. In a n-a secunda (n=1,2,3,...) parcurge 1/10xn^2 metri.
Poate ajunge furnica la 0,21 metri de punctul de plecare?

Answer 1

Notez cu $S_n$ distanța parcursă în n secunde.
Aceasta va fi:

$S_n=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10\cdot2^2}+\dfrac{1}{10\cdot3^2}+\ldots+\dfrac{1}{10\cdot n^2}=$

$=\dfrac{1}{10}\cdot(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots+\dfrac{1}{n^2})<$

$\ < \dfrac{1}{10}\cdot(1+\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\ldots+\dfrac{1}{(n-1)n})=$

$=\dfrac{1}{10}\cdot(1+\dfrac11-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac14+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n)=$

$=\dfrac{1}{10}(2-\dfrac1n)$

$\lim_{n \to \infty} S_n =\dfrac{2}{10}=0,2<0,21$