Question

Orice exerciţiu, vă rog. M-ar ajuta mult!

Answer 1

2)

$\it a_1+a_2+a_3+\ ...\ +a_n=1 \Rightarrow a_2+a_3+\ ...\ +a_n = 1 - a_1$

Astfel, primul termen din membrul stâng devine $\it \sqrt{\dfrac{1-a_1}{a_1}}$

Dacă înmulțim paranteza din membrul drept cu 1/2, primul termen devine

$\it \dfrac{1}{2a_1}$.

Vom arăta că:

$\it \sqrt{\dfrac{1-a_1}{a_1}} < \dfrac{1}{2a_1}$

Ridicăm la putere a 2-a ambii membri ai inegalității și obținem:

$\it \dfrac{1-a_1}{a_1} <\dfrac{1}{4a_1^2}|_{\cdot a_1} \Leftrightarrow 1-a_1<\dfrac{1}{4a_1} \Leftrightarrow 4a_1-4a_1^2<1 \Leftrightarrow 0<4a_1^2-4a_1+1\Leftrightarrow\\ \\ \\ \Leftrightarrow 0<(2a_1-1)^2 \Leftrightarrow (2a_1-1)^2>0 \ (Adev\breve{a}rat)$

Prin analogie, se poate afirma că fiecare termen din membrul stâng este

mai mic decât termenul corespunzător din membrul drept. Deci, inegalitatea din enunț este adevărată.