Question

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compozitie $z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}+z_{1} z_{2}$.

$5 p$ a) Arătați că $(1+i) \circ(2-i)=6+i$.

$5 p$ b) Demonstrați că numărul $z \circ \bar{z}$ este număr real, pentru orice număr complex $z$.

$5 p$ c) Determinați numerele complexe $z$ pentru care $z \circ Z=-2$.

Answer 1

$z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}+z_{1} z_{2}$

a)

$(1+i)\circ (2-i)=1+i+2-i+(1+i)(2-i)=3+2+i-i^2=5+1+i=6+i$

b)

Fie z=a+bi

$\bar{z}=a-bi$

$z\circ \bar{z}=(a+bi)\circ (a-bi)=a+bi+a-bi+(a+bi)(a-bi)\\\\z\circ \bar{z}=2a+a^2-bi^2=2a+a^2+b^2\in R$

c)

$z\circ z=-2\\\\z+z+z^2=-2\\\\z^2+2z+2=0\\\\\Delta=4-8=-4\\\\z_1=\frac{-2+2i}{2} =i-1\\\\z_2=\frac{-2-2i}{2} =-1-i$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905545

#BAC2022

#SPJ4