Question

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$.

a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

$5 p$c) Calculatii $\lim _{n \rightarrow+\infty}(f(1)+f(2)+\ldots+f(n)+2 \ln n)$.

Answer 1

$f(x)=\ln \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$

a)

Vezi tabel derivate in atasament

$f'(x)=\frac{\frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} }{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} } =\\\\f'(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} =\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$

b)

Asimptota orizontala

Calculam limita spre -∞

$\lim_{x \to -\infty} ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=ln1=0$

Cand gradul numitorului este egal cu gradul numaratorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

c)

$f(1)+f(2)+...+f(n)+2lnn=ln\frac{1}{3} +ln\frac{3}{7}+ln\frac{7}{13} +...+ln\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} +lnn^2\\\\=ln\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{7}{13}\cdot ...\cdot \frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} +lnn^2=ln\frac{1}{n^2+n+1} +lnn^2=ln\frac{n^2}{n^2+n+1}$

$\lim_{n \to +\infty} ln\frac{n^2}{n^2+n+1} =ln1=0$

Cand gradul numitorului este egal cu gradul numaratorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905550

#BAC2022

#SPJ4