Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

$5 p$ a) Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) d x=1+\ln (1+\sqrt{2})$. \begin{tabular}{l|l}
$5 p$ & b) Calculați $\int_{-1}^{1}|x f(x)| d x$ \\
$5 p$ & c) Arătați că $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=2$
\end{tabular}

Answer 1

$f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^1_0 {1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } } \, dx =x|_0^1+ln(x+\sqrt{x^2+1})|_0^1 =1+ln(1+\sqrt{2})-ln1=1+ ln(1+\sqrt{2})$

b)

$\int\limits^1_{-1} {|x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } |} \, dx =\int\limits^0_{-1} {-x} \, dx +\int\limits^1_0 {x} \, dx+ \int\limits^0_{-1} \frac{-x}{\sqrt{x^2+1} } \ dx+ \int\limits^1_{0} \frac{x}{\sqrt{x^2+1} } \ dx=-\frac{x^2}{2}|_{-1}^0 +\frac{x^2}{2}|_0^1- \sqrt{x^2+1}|_{-1}^0+\sqrt{x^2+1}|_0^1=\\\\ =0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} -(1-\sqrt{2} )+\sqrt{2} -1=\\\\ 1-1+2\sqrt{2}-1=2\sqrt{2} -1$

c)

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \int\limits^x_0 {1+\frac{1}{\sqrt{t^2+1} } } \, dx$

Aplicam l'Hopital, derivam numarator, derivam numitor si obtinem:

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{1}=f(0)=1+1=2$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905358

#BAC2022

#SPJ4