Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=x y-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}$.

5p a) Arătați că $\sqrt{3} * 0=\sqrt{3}$.

$5 p$ b) Demonstrați că $x * y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p c) Calculati $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \ldots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}$.

Answer 1

$x * y=x y-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}$

a)

Il inlocuim pe x cu √3 si pe y cu 0 si obtinem:

$\sqrt{3} *0=\sqrt{3} \times0-\sqrt{3} (\sqrt{3} +0)+3+\sqrt{3} =-3+3+\sqrt{3} =\sqrt{3}$

b)

$x * y=x y-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}$

$x y-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}=xy-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+3+\sqrt{3}$

Dam factor comun  intre primii doi termeni pe x si pe urmatorii doi termeni ii grupam si dam factor comun fortat pe √3 si vom obtine:

$xy-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+3+\sqrt{3}=x(y-\sqrt{3})-\sqrt{3} (y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$

Dam factor comun y-√3 si obtinem:

$x*y=(y-\sqrt{3} )(x-\sqrt{3} )+\sqrt{3} =(x-\sqrt{3} )(y-\sqrt{3} )+\sqrt{3}$

c)

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \ldots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}$

Calculam elementul absorbant "a" folosind formula obtinuta la punctul b

x*a=a

(x-√3)(a-√3)+√3=a

(x-√3)(a-√3)+√3-a=0

(a-√3)(x-√3+1)=0

a-√3=0

a=√3

Deci x*√3=√3

Observam ca $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} =\sqrt{3} \\\\\sqrt{3} *( \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \ldots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}})=\sqrt{3}$

Rezultatul nostru va fi=√3

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3910061

#BAC2022