Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $x \circ y=x y-3(x+y)+12$.

5p 1. Arătați că $2020 \circ 4=2020$.

5p 2. Demonstrați că $3 \circ x=3$, pentru orice număr real $x$.

5p 3. Demonstrați că $x \circ y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 4. Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x=x$.

$5 \mathbf{5}$ 5. Arătați că $x \circ y \geq 3$, pentru orice $x \geq 3$ şi $y \geq 3$.

5p 6. Calculaţi $\sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \ldots \circ \sqrt{2020}$.

Answer 1

$x \circ y=x y-3(x+y)+12$

1)

Inlocuim pe x cu 2020 si pe y cu 4 si obtinem:

2020°4=2020×4-3(2020+4)+12=8080-6072+12=2020

2)

3°x=3x-3(3+x)+12=3x-9-3x+12=-9+12=3

3)

xy-3(x+y)+12=xy-3x-3y+9+3=x(y-3)-3(y-3)+3=(y-3)(x-3)+3

4)

x°x=x

x²-3(x+x)+12=x

(x-3)(x-3)+3=x

(x-3)(x-3)-(x-3)=0

(x-3)(x-4)=0

x-3=0 si x-4=0

x=3 si x=4

5)

x≥3                x-3≥0                          

y≥3                 y-3≥0

Le inmultim si obtinem

(x-3)(y-3)≥0         |+3

(x-3)(y-3)+3≥3

x°y≥3

6)

Calculam elementul absorbant

x°a=a

(x-3)(a-3)+3=a

(x-3)(a-3)-(a-3)=0

(a-3)(x-3-1)=0

a-3=0

a=3=√9

Orice element compus cu √9 este egal cu √9=3

√1°√2°...°√9°....°√2020=√9=3

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918936

#BAC2022

#SPJ4