Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=2 x y-6(x+y)+21$.

5p 1. Arătați că $(-1) \circ 3=3$.

5p 2. Demonstrați că $x \circ y=2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ şi [tex]$y$/tex].

5p 3. Verificați dacă $e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție,,$\circ "$

5p 4. Determinați mulțimea numerelor întregi $a$ pentru care $(a+3) \circ(a-3)\ \textless \ 3$.

5p 5. Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ x \circ x=7$.

5p 6. Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m \circ n=5$.

Answer 1

$x \circ y=2 x y-6(x+y)+21$

1)

Inlocuim pe x cu -1 si pe y cu 3

(-1)°3=-6-6(-1+3)+21=-6+6-18+21=3

2)

2xy-6x-6y+21=2xy-6x-6y+18+3=2x(y-3)-6(y-3)+3=(y-3)(2x-6)+3=2(x-3)(y-3)+3

3)

Calculam elementul netru

x°e=x

2(x-3)(e-3)+3=x

2(x-3)(e-3)-(x-3)=0

(x-3)(2e-6-1)=0

2e=7

$e=\frac{7}{2}$

4)

(a+3)°(a-3)<3

2(a+3-3)(a-3-3)+3<3

2a(a-6)<0

a=0 si a=6

Facem tabel semn

a             -∞          0              6              +∞

2a(a-6) + + + + + +0 - - - - - -0 + + + + + +

a∈(0,6)

Dar a∈Z⇒ a={1,2,3,4,5}

5)

x°x°x=7

[2(x-3)(x-3)+3]°x=7

2×2(x-3)(x-3)+3-3)(x-3)+3=7

4(x-3)³=4

(x-3)³=4

x-3=1

x=4

6)

m°n=5

2(m-3)(n-3)+3=5

2(m-3)(n-3)=2

(m-3)(n-3)=1

m-3=1 si n-3=1

m=4 si n=4

m-3=-1 si n-3=-1

m=2 si n=2

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918937

#BAC2022

#SPJ4