Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $x * y=x y-(x+y)+2$.

1. Arătați că $1 *(-1)=1$.

2. Demonstrați că $x * y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. Verificați dacă $e=2$ este elementul neutru al legii de compoziţie,, $* "$.

4. Verificați dacă $\frac{4}{3}$ este simetricul lui 4 în raport cu legea de compoziţie,,*".

5. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x * x \leq x$.

6. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 11 , acesta să verifice egalitatea $n * n * n=n$.

Answer 1

$x * y=x y-(x+y)+2$

1)

Inlocuim pe x cu 1 si pe y cu -1

1*(-1)=-1-(1-1)+2=-1+2=1

2)

xy-(x+y)+2=xy-x-y+2=xy-x-y+1+1=x(y-1)-(y-1)+1=(x-1)(y-1)+1

3)

Elementul netru

x*e=x

(x-1)(e-1)+1=x

(x-1)(e-1)-(x-1)=0

(x-1)(e-1-1)=0

e-2=0

e=2

4)

Elementul simetric

x*x'=e

(x-1)(x'-1)+1=2

(x-1)(x'-1)=1

$x-1=\frac{1}{x'-1} \\\\x=\frac{1}{x'-1}+1\\\\\frac{4}{3} =\frac{1}{4-1}+1\\\\ \frac{4}{3} =\frac{1}{3}+1\\\\ \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

5)

$x*x\leq x\\\\(x-1)(x-1)+1\leq x\\\\(x-1)(x-1)-(x-1)\leq 0\\\\(x-1)(x-2)\leq 0$

x=1 si x=2

Tabel semn

x              -∞            1           2            +∞

(x-1)(x-2)  + + + + + +0 - - -  0 + + + + +

x∈[1,2]

6)

Numere naturale nenule <11

1, 2, 3,..., 10

10 numere

$P=\frac{cazuri\ favorabile}{cazuri\ totale} \\\\cazuri\ totale=10$

$n*n*n=[(n-1)(n-1)+1]*n=(n-1)^3+1\\\\(n-1)^3+1=n\\\\(n-1)^3-(n-1)=0\\\\(n-1)[(n-1)^2-1]=0\\\\n-1=0\\ n=1\\\\(n-1)^2=1\\\\n-1=1\\\\n=2\\\\n-1=-1\\\\n=0\ NU$

cazuri favorabile=2

$p=\frac{2}{10}$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919027

#BAC2022

#SPJ4