Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ şi $M(x)=I_{2}+x A$, unde $x$ este număr real.

1. Arătați că det $(M(0))=1$.

2. Arătați că $M(1)-M(3)=M(3)-M(5)$.

3. Arătați că $A \cdot A=A$.

4. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $\operatorname{det}\left(M\left(x^{2}\right)\right)\ \textless \ 5$.

5. Demonstraţi că $M(x) \cdot M(y)=M(x+y+x y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

6. Determinați numerele întregi $m$ şi $n, m\ \textless \ n$, pentru care $M(m) \cdot M(n)=M(2)$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)$

1)

Calculam det(M(0)), inlocuim pe x cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

M(0)=I₂

detI₂=1-0=1

2)

M(1)-M(3)=I₂+A-(I₂+3A)=-2A

M(3)-M(5)=I₂+3A-(I₂+5A)=-2A

Se observa ca sunt egale

3)

$A\cdot A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)=A$

4)

det(M(x²))<5

$det(M(x^2))=\left|\begin{array}{rr}1-2x^2 & 2x^2 \\ -3 x^2& 1+3x^2\end{array}\right| < 5\\\\(1-2x^2)(1+3x^2)-2x^2(-3x^2) < 5\\\\1+x^2-6x^2+6x^2 < 5\\\\x^2-4 < 0\\\\(x-2)(x+2) < 0$

Tabel semn

x                   -∞        -2         2             +∞

(x-2)(x+2)   + + + + + 0  - - - -0 + + + + +

x∈(-2,2)

5)

A²=A

M(x)·M(y)=(I₂+xA)(I₂+yA)=I₂²+I₂yA+xAI₂+xyA²=I₂+xA+yA+xyA=I₂+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)

6)

M(m)·M(n)=M(m+n+mn)

Ne folosim de punctul 5

M(m+n+mn)=M(2)

m+n+mn=2

m+n+mn-2=0

m+mn+n+1-3=0

m(1+n)+(n+1)-3=0

(m+1)(n+1)=3

m+1=1 si n+1=3

m=0 si n=2

m+1=-3 si n+1=-1

m=-4 si n=-2

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919033

#BAC2022

#SPJ4