Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $x * y=x+y-2020$.

5p 1. Arătați că $2000 * 20=0$.

5p 2. Arătați că legea de compoziţie,,*" este asociativă.

5p 3. Demonstrați că $a *(a+2020)=(a+1010) *(a+1010)$, pentru orice număr real $a$.

5p 4. Determinaţi numărul real $x$, ştiiind că $4^{x} * 2^{x}=-2014$.

5p 5. Determinați cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n * n \leq n$.

5p 6. Arătați că numărul $\frac{2}{3-\sqrt{5}} * \frac{2}{3+\sqrt{5}}$ este întreg.

Answer 1

$x * y=x+y-2020$

1)

Inlocuim pe x cu 2000 si pe y cu 20 si obtinem:

2000+20-2020=0

2)

Asociativitatea

(x*y)*z=x*(y*z)

(x+y-2020)*z=x*(y+z-2020)

x+y-2020+z-2020=x+y+z-2020-2020

x+y+z-4040=x+y+z-4040 Adevarat

3)

a*(a+2020)=a+a+2020-2020=2a

(a+1010)*(a+1010)=a+1010+a+1010-2020=2a

Se observa ca sunt egale

4)

$4^x*2^x=-2014\\\\4^x+2^x-2020=-2014\\\\2^{2x}+2^x=6\\\\Notam \ 2^x=t\\\\t^2+t-6=0\\\\\Delta=1+24=25\\\\t_1=\frac{-1+5}{2} =2\\\\x=1\\\\t_2=\frac{-1-5}{2} =-3 < 0\ NU$

5)

n+n-2020≤n

n-2020≤0

n≤2020

Cel mai mare numar este 2020

6)

$\frac{2}{3-\sqrt{5} } +\frac{2}{3+\sqrt{5} } -2020=\frac{2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5} ) }{9-5} -2020\\\\\frac{12}{4}-2020=3-2020= -2017\in Z$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919036

#BAC2022

#SPJ4