Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $x * y=x+y-15$.

1. Arătaţi că $(-2) * 17=0$.

2. Arătaţi că legea de compoziție ,, *" este asociativă.

3. Arătaţi că $(1 * 2) *(8 * 9)=(1 * 9) *(2 * 8)$.

4. Determinaţi numărul real $x$ pentru care $(x * x) * x=x$.

5. Determinaţi numărul real $x$ pentru care $9^{x} * 3^{x}=-3$.

6. Demonstrați că $x^{2} * \frac{1}{x^{2}} \geq-13$, pentru orice număr real nenul $x$.

Answer 1

$x * y=x+y-15$

1)

Inlocuim pe x cu -2 si pe y cu 17 si obtinem:

-2+17-15=15-15=0

2)

Asociativitatea

(x*y)*z=x*(y*z)

(x+y-15)*z=x*(y+z-15)

x+y-15+z-15=x+y+z-15-15

x+y+z-30=x+y+z-30

Sunt egale, deci legea este asociativa

3)

(1*2)*(8*9)=(1*9)*(2*8)

(1+2-15)*(8+9-15)=(1+9-15)*(2+8-15)

-12*2=-5*(-5)

-12+2-15=-5-5-15

-25=-25 Adevarat

4)

x*x*x=x

(x+x-15)*x=x

x+x-15+x-15=x

2x-30=0

2x=30

x=15

5)

$9^x*3^x=-3\\\\9^x+3^x-15=-3\\\\3^{2x}+3^x-12=0\\\\Notam\ t=3^x\\\\t^2+t-12=0\\\\\Delta=1+48=49\\\\t_1=\frac{-1+7}{2} =3\\\\x=1\\\\t_2=\frac{-1-7}{2} =-4 < 0\ NU$

6)

$x^2*\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2} -15\\\\\\x^2+\frac{1}{x^2} -15=x^2+\frac{1}{x^2} -2-13=(x-\frac{1}{x} )^2-13\\\\(x-\frac{1}{x} )^2\geq 0\ \ \ |-13\\\\(x-\frac{1}{x} )^2-13\geq -13$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919121

#BAC2022

#SPJ4