Question

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}2 x+a y+z=1 \\ (a-3) x+a y+z=2 a-1, \\ 3 x+(2 a-1) y+z=1\end{array}\right.$ unde $a$ este număr real.

$5 p$ a) Arătați că det $(A(0))=5$.

$5 p$ b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul de ecuații este compatibil determinat.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinați numărul real $a$, știind că sistemul de ecuații are soluție unică $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ şi $x_{0}, y_{0}$ și $z_{0}$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Answer 1

$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right)$

a)

Calculam det(A(0)), inlocuind pe a cu 0 si adaugand primele doua linii ale determinantului:

$det(A(0))=\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right|$

                       2      0    1

                      -3      0    1

det(A(0))=(0+3+0)-(0-2+0)=3+2=5

b)

Sistemul este compatibil determinat daca det(A(a))≠0

$det(A(a))=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|$

                         2          a        1

                      a-3          a        1

det(A(a))=[2a+(a-3)(2a-1)+3a]-(3a+4a-2+a²-3a)=2a+2a²-7a+3a+3-4a+2-a²=a²-6a+5

a²-6a+5≠0

Δ=36-4×5=16

$a\neq \frac{6+4}{2} \neq 5\\\\a\neq \frac{6-4}{2} \neq 1$

a∈R\{1,5}                      

c)

Vom rezolva prin metoda lui Cramer

Notam determinantul sistemului cu Δ

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)$

Formam $\Delta_x$, inlocuind coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ 2a-1 & a & 1 \\ 1 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|$

                1            a       1

            2a-1           a       1

$\Delta_x=(a+4a^2-4a+1+a)-(a+2a-1+2a^2-a)=2a^2-4a+2=2(a-1)^2$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{2(a-1)}{a-5}$

Formam $\Delta_y$, inlocuind coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ a-3 & 2a-1 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right|$

              2           1        1

           a-3        2a-1      1

$\Delta_y=(4a-2+a-3+3)-(6a-3+2+a-3)=-2a+2=-2(a-1)\\\\y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-2}{a-5}$

Formam $\Delta_z$, inlocuind coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ a-3 & a & 2a-1 \\ 3 & 2 a-1 & 1\end{array}\right|$

              2           a           1

            a-3          a        2a-1

$\Delta_z=(2a+2a^2-7a+3+6a^2-3a)-(3a+8a^2-8a+2+a^2-3a)=-a^2+1=-(a-1)(a+1)\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta} =-\frac{a+1}{a-5}$

x,y,z sunt in progresie aritmetica, adica 2y=x+z

$-\frac{4}{a-5} =\frac{2(a-1)}{a-5}-\frac{a+1}{a-5}\\\\ -4=2a-2-a-1\\\\ -1=a$

a=-1

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3898882

#BAC2022

#SPJ4