Question

Pe mulțimea $G=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y=2^{\ln x \cdot \ln y}$.

$5 p$ a) Arătați că $x * 1=1$, pentru orice $x \in G$.

$5 p$ b) Determinați $f \in G$, ştiind că $f$ este elementul neutru al legii de compoziție, ,*".

$5 p$ c) Determinați $x \in G$ pentru care $x * \frac{1}{x}=\frac{1}{2}$.

Answer 1

$x * y=2^{\ln x \cdot \ln y}$

a)

x*1=1

$x * 1=2^{\ln x \cdot \ln 1}\\\\2^{\ln x \cdot \ln 1}=2^{lnx\cdot 0}=2^0=1$

b)

Elementul neutru

x*f=x

$x * f=2^{\ln x \cdot \ln f}=x\ \ |logaritmam\\\\ln(2^{\ln x \cdot \ln f})=lnx\\\\lnx\cdot lnf\cdot ln2=lnx\\\\lnf\cdot ln2=1\\\\lnf=\frac{1}{ln2} \\\\f=e^{\frac{1}{ln2}}$

c)

$x*\frac{1}{x} =2^{lnx\cdot ln\frac{1}{x}} \\\\2^{lnx\cdot ln\frac{1}{x}} =\frac{1}{2}\\\\ 2^{lnx\cdot ln\frac{1}{x}} =2^{-1}\\\\{lnx\cdot ln\frac{1}{x}}=-1\\\\lnx(ln1-lnx)=-1\\\\lnx(-lnx)=-1\\\\ln^2x=1\\\\lnx=1\\\\x=e\\\\sau\\\\lnx=-1\\\\x=e^{-1}$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905362

#BAC2022

#SPJ4