Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+5}$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{\left(x^{2}+5\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcţiei $f$.

$5 p$ c) Demonstraţi că $-\frac{1}{2} \leq f(x) \leq \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $x$.

Answer 1

$f(x)=\frac{x-2}{x^{2}+5}$

a)

Calculam f'(x), folosind formula:

$(\frac{f}{g} )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

$f'(x)=(\frac{x-2}{x^{2}+5})'=\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x+5)^2} =\frac{x^2+5-2x^2+4x}{(x+5)^2}$

$f'(x) =\frac{-x^2+4x+5}{(x+5)^2} =\frac{(5-x)(x+1)}{(x+5)^2}$

Nota: -x²+4x+5=-x²+1+4x+4=(1-x)(1+x)+4(x+1)=(x+1)(1-x+4)=(x+1)(5-x)

b)

Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞, inseamna sa calculam limita catre +∞ din f(x)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x^{2}+5}=0$

Nota: daca gradul de sus este mai mic decat gradul de jos, limita va fi egala cu 0 (1<2)

Ecuatia asimptotei orizontale spre +∞ este y=0

c)

Facem monotonia functiei, f'(x)=0

$f'(x) =\frac{(5-x)(x+1)}{(x+5)^2}=0$

(5-x)(x+1)=0

x=5 si x=-1

Facem tabel semn

x        -∞             -1            5               +∞

f'(x)   - - - - - - - -   0  + + + 0 - - - - - - -

f(x)          ↓          f(-1)  ↑   f(5)        ↓

                           $- \frac{1}{2}$       $\frac{1}{10}$    

Functia este crescatoare pe intervalul [-1, 5]⇒    $- \frac{1}{2}\leq f(x)\leq \frac{1}{10}$      

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2388784

#BAC2022

#SPJ4