Question

Pe mulțimea $\mathbf{G}=(4,+\infty)$ se definește legea de compozitie $\mathbf{G} \times \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{G}$, $(x, y) \rightarrow x \circ y=x y-4(x+y)+20$.

a) Să se arate că $(G, \circ)$ este un grup comutativ.

b) în grupul $(G, \circ)$ să se determine $\mathbf{5}^{\mathbf{n}}$ și $\mathbf{x}^{\mathbf{n}}, \mathbf{n} \geq \mathbf{1}$ și $\mathbf{x} \in \mathbf{G}$

Answer 1

x©y=xy-4(x+y)+20

Ca un grup sa fie comutativ el trebuie sa aibe

P(peste tot definita)

A(asociativa

N(element neutru

S(simetrizabil

C(comutativ

• P

X compus y =xy-4(x+y)+20>4

xy-4x-4y+20>4 iar asta e (x-4)(y-4)+4>4

Scădem 4 și avem

(x-4)(y-4)>0 mereu deoarece x, y aparțin G iar G ia valori de la 4 în sus

• A

X*y) *z= (xy-4x-4y+20)z-4(xy-4x-4y+20+z)-4z+20

X*(y*z)= x(yz-4y-4z+20)-4x-4(yz-4y-4z+20)+20

Daca desfaci parantezele îți dă ca sunt egale

• N

Pentru orice x aparține G exista și este unic e aparține G astfel încât x compus e=e compus x=x oricare ar fii X din G

X comp e= xe-4x-4e+20=x

e(x-4)=5x-20

e(x-4)=5(x-4) deci e=5 care aparține G

• S

Oricare ar fi x din g exista și este unic x' aparține G astfel încât x comp x'= x' comp x=e oricare ar fi x din G

X comp x'= xx'-4x-4x'+20=5

xx'-4x-4x'=15

x'(x-4)=15+4x

x'=(15+4x)/(x-4) exista deoarece x aparține g, iar x ia valori mai mari (nu egale) cu 4,deci ecuația exista

• C

X comp y= xy-4(x+y)+20

Y comp x=yx -4(y+x)+20

Se observa ca legea este comutativa pe R deoarece (R, +, *) LCI (Lege de Compoziție Interna) pe R, și cum G este un subgrup al lui R rezulta ca legea este comutativa

Demonstrând tot am arătat ca (G, *) este grup comutativ

La punctul b nu înțeleg întrebarea

Sper ca te am ajutat

Have a nice dayyyya 9️⃣