Question

Se consideră mulțimea $\mathbf{G}=(0,+\infty) \backslash\{1\}$ si legea de compozitie $\mathbf{G} \times \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{G}$, $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \rightarrow \mathbf{x} \circ \mathbf{y}=\mathbf{x}^{\log _{2} y}$

a) Să se arate că $(G, \circ)$ este grup comutativ. b) Să se determine $4^{n}$ și $x^{n}, n \geq 1$, $\mathbf{x} \in \mathbf{G}$.

Answer 1

X comp y =x^(log2y)

Pentru ca G sa fie grup comutativ trebuie sa aibe

P(peste tot definita

A(asociativitate

N(element neutru

S(element simetrizabil

C(comutativ

• P

X comp y=x la log2y >0 fără 1 adevărat deoarece

Cum y ia valori pozitive dar nu poate lua valoarea 1 înseamnă că log2y este mereu pozitiv și exista

Iar x^n este >0 dacă n>0

• A

(x*y) z= [x^log2y] ^log2z (ca să se înțeleagă e ca și cum am avea a^x) |Aplicam funcția ln

X(yz) =x^[log2(y^log2z)] | Aplicam funcția ln

Și o sa vina

Ln(a^x)=xlna adică (log2z) ln(x^(log2y))

Cealaltă devine

(log2z) ln(x^log2y)

(sper ca am scris bine, nu mi dau seama pe aplicație dacă e corect scris, dar asa se rezolva ex. De genu, trebuie sa la logaritmezi)

• N

Pentru orice X aparține G exista și este unic e astfel încât x comp e = e comp x = x oricare ar fi x din G

X comp e= x^log2e=x

Deci log2e=1 deci e=2 care aparține de G

• S

Pentru orice x din G exista și este unic x' aparține g astfel încât x comp x'= x' comp x = e oricare ar fi x din G

X comp x'= x^log2x'=2, îl scriem pe 2 ca un logaritm în baza 2, log2(4)=log2(2²)

Deci x^log2x'=log2(2²), Aplicam ln

Log2x') lnx=ln2 adică

Log2x'=ln2/lnx, cum x nu poate lua valoarea 1 funcția exista oricare ar fii X aparține G

• C

X comp y =x^log2y

Y comp x =y^log2x

Aplicam ln și avem

Log2y* lnx, x și y aparțin G

Log2x* lny

Se observa ca cele 2 funcții sunt comutative pe R deoarece (R, +, *) este LCI(Lege de Compoziție Interna) pe R, și cum G este un subgrup a lui R, atunci G este comutativa

Am demonstrat tot deci KG, *) grup comutativ

La b nu înțeleg întrebarea

Sper ca te am ajutat

Have a nice dayyyya 9️⃣