Question

Pe planul dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara MD, astfel încât MA =15√2 cm, MB = 5√34 cm şi MC = 25 cm. Aflați laturile dreptunghiului, precum și distanţa de la M la dreapta AC.
+figura va rog

Answer 1

notăm MD = h; AB = CD = x; AD = BC = y; AC = BD = d

MD⊥(ABCD) ⇒ MD⊥AB, MD⊥AD, MD⊥AC

T.Pitagora în ΔABD:

BD² = AB²+AD² ⇔ d² = x²+y²

din T.Pitagora în ΔMDA, ΔMDC, ΔMDB:

(1) h²+x² = MC² ⇔ h²+x² = 25²

(2) h²+y² = MA² ⇔ h²+y² = (15√2)²

(3) h²+d² = MB² ⇔ h²+x²+y² = (5√34)²

din (1) și (2):

(4) 2h²+x²+y² = 1075

din (4) scădem (3):

h² = 225 ⇔ h = 15

$\implies MD = 15 \ cm$

înlocuim în (1) și (2):

x² = 25²-225 ⇔ x² = 400 ⇔ x = 20

$\implies \bf AB = CD = 20 \ cm$

y² = (15√2)²-225 ⇔ y² = 225 ⇔ y = 15

$\implies \bf AD = BC = 15 \ cm$

d² = 225+400 ⇔ d² = 625 ⇔ d = 25

$\implies AC = BD = 25 \ cm$

în ΔADC, ducem DN⊥AC, N∈AC

$DN \cdot AC = AD \cdot CD$

$DN = \dfrac{15 \cdot 20}{25} \implies DN = 12 \ cm$

din T3⊥: MD⊥DN, DN⊥AC ⇒ MN⊥AC

⇒ d(M,AC) = MN

în ΔMDN:

MN² = MD²+DN² = 15²+12² = 369

$\implies \bf MN = 3 \sqrt{41} \ cm$