Question

Pentru ce valori n ∈ N, fractia $\frac{ n^{2}+n+3 }{2n^{2}+3n+4 }$ se poate simplifica?

Answer 1

Daca fractia se poate simplifica, inseamna ca exista d∈N*-{1}, astfel incat d | $n^{2}+n+3$ si d | $2n^{2}+3n+4$.

d | $n^{2}+n+3$ => d | $2( n^{2}+n+3)$ <=> d | $2 n^{2} +2n+6$ 

d | $2n^{2}+2n+6$ si d | $2n^{2}+3n+4$ => d | $(2n^{2}+3n+4)-( 2n^{2}+2n+6)$ <=> d | n-2 => d | $(n-2)^{2}$ <=> d | $n^{2}-4n+4$, dar d | $n^{2}+n+3$ => d | $( n^{2} -4n+4)-( n^{2} +n+3)$ <=> d | -5n+1

d | $n^{2} -4n+4$ => d | $2( n^{2}-4n+4)$ <=> d | $2n^{2}-8n+8$, dar d | $2n^{2}+3n+4$ => d | $(2n^{2}+3n+4)-(2n^{2}-8n+8)$ <=> d | 11n-4 => d | 5(11n-4) <=> d | 55n-20............(1)

d | -5n+1 => d | 11(-5n+1) <=> d | -55n+11............(2)

Din (1) si (2) => d | (-55n+11)+(55n-20) <=> d | -9 => d∈{3;9} (fara 1, caci atunci numerele ar fi prime intre ele si fara elementele negative, caci am precizat ca d∈N (oricum ar fi fost acelasi lucru; ex: 5 | 25 => -5 | 25) ).

Din d∈{3;9} => Fractia se simplifica cu 3 sau cu 9 .

Din d | $( 2n^{2}+3n+4)-( 2n^{2}+2n+4)$ <=> d | n-2.

Daca d=3 => $n= M_{3}+2$, iar daca n=9 => n=$M_{9}+2$.

Deoarece $M_{9}$ ⊂ $M_{3}$ (invers nu e valabil!!!), putem generaliza, afirmand ca $n= M_{3}+2$.

Answer 2

Daca fractia se simplifica printr-un divizor d nenul si d diferit de 1, atunci:

d | $n^{2} +n+3$
d | $2* n^{2} +3n+4$

Inmultim prima relatie cu (-2):
d | $-2* n^{2} -2n-6$
si apoi adunam cele doua relatii:
d | n-2, deci d | $(n-2)^{2}$, adica:

d | $n^{2} -4n+4$ si scadem aceasta relatie din prima de sus, de unde avem:

d | 5n-1 si cum
d | n-2 inmultim a doua relatie cu (-5):
d | -5n+10 si adunam cu prima relatie:

d | 9, adica d∈{-3, 3, -9, 9}

Studiem fractia cu forme ale lui n din punct de vedere al divizibilitatii cu 3:
1) Daca n=3k, adica n=M3  (adica n este multiplu de 3):

fractia=$\frac{M3}{M3+1}$ nu se simplifica nici cu 3, nici cu 9, deci n=multiplu de 3 nu convine.

2) Daca n=3k+1, adica n=M3+1, atunci $n^{2}$=$(3k+1)^{2}$=$9 k^{2} +6k+1$=M3+1

fractia=$\frac{(M3+1)+(M3+1)+3}{2(M3+1)+M3+4}$=$\frac{M3+2}{M3}$ nu se simplifica nici cu 3, nici cu 9, deci n=M3+1 nu convine.

3) Daca n=3k+2, adica n=M3+2, atunci $n^{2}$=$(3k+2)^{2}$=$9 k^{2} +12k+4$=M3+1

fractia=$\frac{(M3+1)+(M3+2)+3}{2(M3+1)+M3+4}$=$\frac{M3}{M3+2+4}$=$\frac{M3}{M3}$ se simplifica prin 3, evident, deci pentru n de forma M3+2 fractia se poate simplifica prin 3.

Exemplu:
Pentru n=3*1+2=5:

fractia=$\frac{25+5+3}{2*25+3*5+4}$=$\frac{33}{69}$ se simplifica, intr-adevar prin 3 si obtinem fractia=$\frac{11}{23}$

Analog se poate analiza n din punct de vedere al divizibilitatii cu 9, si se obtine forma n=M9+2 pentru care fractia este divizibila cu 9. Luam ca exemplu n=9*0+2=2 si obtinem $\frac{9}{18}$ care se simplifica prin 9, deci si prin 3).

Observam ca pentru n=M3+2 fractia se simplifica prin 3, dar nu intotdeauna si prin 9, deci n=M3+2 "acopera" ambele variante in care fractia sa fie simplificabla (nu conteaza prin cine).