Question

Pentru f:R\{-1}->R,f(x)=(2x+1)/(x-1), determinati f([-1;1)).

Answer 1

Salut,

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{2x-2+3}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=\\\\=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1};\\\\-1\leqslant x\ |(-1)\Rightarrow -2\leqslant x-1\Rightarrow\\\\\Rightarrow -\dfrac{1}2\geqslant\dfrac{1}{x-1}\Bigg{|}\cdot 3\Rightarrow-\dfrac{3}2\geqslant\dfrac{3}{x-1} \Bigg{|}+2\Rightarrow\\\\\Rightarrow \dfrac{1}2\geqslant 2+\dfrac{3}{x-1}=f(x).$

Poți demonstra că funcția este descrescătoare, adică dacă x₁ < x₂, avem că f(x₁) > f(x₂).

x₁ < x₂, deci x₁ -- 1 < x₂ -- 1, sau 1/(x₁ -- 1) > 1/(x₂ -- 1) |· 3, deci

3/(x₁ -- 1) > 3/(x₂ -- 1) | + 2, deci 2 + 3/(x₁ -- 1) > 2 + 3/(x₂ -- 1), adică:

f(x₁) > f(x₂), funcția este deci descrescătoare.

Conform celor de mai sus, funcția va lua valori din ce în ce mai mici (negative !), valoarea maximă este 1/2. Pe măsură ce x se apropie de 1, numitorul x -- 1 devine din ce în ce mai mic, din ce în ce mai apropiat de 0 (NU va lua valoarea 0).

Dacă numitorul unei fracții ia valori negative foarte, foarte apropiate de 0, atunci valoarea fracției devine extrem de mică, la limită valoarea va fi minus infinit. În clasa a XI-a vei studia noțiunea de limită, atunci vei înțelege mai ușor. Pentru a înțelege acum, dă lui x pe rând valorile x = 0, apoi x = 1/10, 1/2, etc., vei vedea că funcția ia valori din ce în ce mai mici, negative.

Deci imaginea funcției este Imf = [1/2, --∞).

Am inserat mai jos și o reprezentare grafică a funcției, sper că îți va fi mai ușor să înțelegi explicațiile de mai sus.

P.S. Dacă ai fost cuminte, ai văzut câte cadouri inestimabile ai primit ? :-))).

Green eyes.

Answer 2

$f:\mathbb_{R} \backslash \{1\} \rightarrow \mathbb_{R},\quad f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1} \\ \\ \dfrac{2x+1}{x-1} = y \Rightarrow 2x+1= y(x-1) \Rightarrow 2x+1 = yx-y \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2x-yx = -y-1 \Rightarrow x(2-y) = -y-1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x = \dfrac{-(y+1)}{2-y} \Rightarrow x = \dfrac{y+1}{y-2} \\ \\ \\ Pentru f\Big([-1,1)\Big),\quad x\in [-1,1) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \dfrac{y+1}{y-2}\in [-1,1) \Rightarrow -1\leq \dfrac{y+1}{y-2}\ \textless \ 1$

$\boxed{1}\quad y-2 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow y\ \textgreater \ 2: \\ \\ -1\leq \dfrac{y+1}{y-2}\ \textless \ 1\Big|\cdot (y-2) \Rightarrow -(y-2)\leq y+1\ \textless \ y-2 \quad (F) \\ \\ y+1\ \textless \ y-2 \Rightarrow 1\ \textless \ -2 (F) \Rightarrow y \in \emptyset \\ \\ \boxed{2} \quad y-2\ \textless \ 0 \Rightarrow y\ \textless \ 2: \\ \\ -1\leq \dfrac{y+1}{y-2}\ \textless \ 1 \Big|\cdot (y-2) \Rightarrow -(y-2)\geq y+1\ \textgreater \ y-2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow -y+2\geq y+1\ \textgreater \ y-2$

$\left\{ \begin{array}{ll} -y+2\geq y+1 \Rightarrow 1 \geq 2y \Rightarrow y\leq \dfrac{1}{2}\Rightarrow y\in \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big] \ \\ y+1\ \textgreater \ y-2 \Rightarrow 1\ \textgreater \ -2 \Rightarrow y \in \mathbb_{R} \\ y\ \textless \ 2 \Rightarrow y\in (-\infty, 2)\end{array} \right |\Rightarrow \\ \\ \\ Din intervalele intersectate \Rightarrow y\in \Big(-\infty,\dfrac{1}{2}\Big] \\ \\ Din \boxed{1} \cup \boxed{2} \Leftrightarrow \emptyset \cup \Big(-\infty,\dfrac{1}{2}\Big] \Rightarrow y \in \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big]$

$\text{Deoarece trebuie satisfacuta conditia de existenta } \Rightarrow \\ \\ y \in \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big] \backslash \{2\},\quad dar 2 nu apartine lui \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big] \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y \in \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big] \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \boxed{ f\Big([-1,1)\Big) = \Big(-\infty, \dfrac{1}{2}\Big] }$