Question

Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră funcţia $f_{n}:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{x^{n}+1}$.

$5 p$ a) Determinați primitiva $G:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a functiei $g:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\left(x^{3}+1\right) f_{3}(x)$, știind că $G(0)=2020$. $5 \mathbf{p} \quad$ b) Calculați $\int_{0}^{1} f_{1}(x) d x$

$5 p$ c) Demonstrați că $\int_{0}^{1} f_{n}(x) d x \leq \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Answer 1

...............................