Question

Pe mulțimea $M=(0,1)$ se definește legea de compoziție $x \circ y=\frac{x y}{1-x-y+2 x y}$.

5p a) Arătați că $x \circ \frac{1}{2}=x$, pentru orice $x \in M$.

5p b) Demonstrați că legea de compoziție ,,°" este comutativă.

5p c) Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,1), f(x)=\frac{x}{x+1}$. Arătați că $f(x) \circ f(y)=f(x y)$, pentru orice $x, y \in(0,+\infty)$.

Answer 1

$x \circ y=\frac{x y}{1-x-y+2 x y}$

a)

$x \circ \frac{1}{2} =\frac{\frac{x}{2} }{1-x-\frac{1}{2} + x }=\frac{x}{2} \cdot 2=x$

b)

Lege comutativa:

x°y=y°x

$\frac{x y}{1-x-y+2 x y}=\frac{yx}{1-y-x+2 yx}$

Se observa ca sunt egale

c)

$f(x)\circ f(y)=\frac{\frac{x}{x+1}\cdot \frac{y}{y+1} }{1-\frac{x}{x+1}-\frac{y}{y+1}+2\frac{x}{x+1}\cdot \frac{y}{y+1}}$

$f(x)\circ f(y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)-x(y+1)-y(x+1)+2xy} =\frac{xy}{xy+x+y+1-xy-x-xy-y+2xy} \\\\f(x)\circ f(y)=\frac{xy}{xy+1} =f(xy)$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2520975

#BAC2022

#SPJ4