Question

Prisma dreapta ABCAA'B'C' are ca baza triunghiurile echilaterale ABC si A'B'C', lungimea inaltimii AA'=4cm, punctul G este centrul de greutate al triunghiului A'B'C' si Ag=2√7cm.
a) Calculati lungimea segmentului AB>
b) Pentru AB=6cm calculati lungimea segmentului AC'.
c) Fie punctul P mijlocul segmentului B'C'. Demonstrati ca dreapta AC' este paralela cu planul (A'BP)

Answer 1

 A'GA=90 grade=> teormea lui Pitagora GA' ²- AA'² =GA' ² =>GA' ²=28-16
=> GA' ²=12 = 2√3 cm
G fiind centrul de greutate , iar triunghiul fiind echilateral ai formula A'G= 2/3 A'M 
(in triunghiul lateral inaltimea coincide cu bisectoare , mediana, mediatoarea si notezi piciorul perpendicularei cu M; acest M este si mijlocul lui B'C')
2√3=2/3A'M=>2A'M=6√3=>A'M=3√3
AI INALTIMEA A'M dupa cum ti-am spus mai devreme si folosind teorema lui Pitagora in triunghiul A'MB' => A'B'²=A'M²+B'M²
Notezi 2a ca fiind lungimea segmentului A'B' ,iar lungimea segmentului B`M = a pentru ca este jumatate din lungimea segmentului A'B' (TRIUNGHIUL ESTE ECHILATERAL)
INLOCUIM: 4a²=27+a²
3a²=27=>a²=9=>a=3=> A'B'=2*a=2*3=6 cm
A'B'=AB (PARALELE SI CONGRUENTE)=> AB = 6 cm

b) masura unghiului C'CA = 90 grade => cu teorema lui Pitagora : C'C²+CA²=AC'²
C'C =A'A(paralele si conguente)
CA=AB (triunghi echilateral)
 Inlocuim; 16+36=AC' ² => AC' = 2√13

c) La punctul a) am notat cu M mijlocul lui B'C' , iar la punctul c) acelasi M este notat aici cu P 

Din desen se vede ca dreapta C'A inteapa planul , deci nu este paralela cu planul (cel mult perpendiculara)

Sper ca ai inteles !