Question

R este raza cercului inscris unui triunghi dreptunghic iar r este raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic. Sa se demonstreze ca R >= r(1+ radical (2))

Answer 1

Trebuie sa stim ca, in triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept in A, avem:

 R= a/2,  r = (b+c-a)/2, 

unde a, b, c sunt lungimile  laturilor.

Vom arata ca inegalitatea din enunt este adevarata:

$R\geq r(1+\sqrt2) \Leftrightarrow \dfrac{R}{r} \geq \sqrt2 +1 \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{\sqrt2+1} \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1$

Ultima inegalitate a fost obtinuta prin rationalizarea numitorului .

[tex]\dfrac{r}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow r\cdot \dfrac{1}{R} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{2} \cdot \dfrac{2}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow\\\;\\ \Leftrightarrow \dfrac{b+c-a}{a} \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} -1 \leq \sqrt2-1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \leq \sqrt2[/tex]

Din ultima inegalitate, prin ridicare la puterea a doua si apoi aplicarea T. Pitagora, se ajunge la relatia adevarata :

$b^2+c^2 \geq 2bc$