Question

Rezolvarea completa, vă rog

Answer 1

Răspuns:

Funcția trebuie să verifice relația de morfism

$f(x\cdot y)=f(x)*f(y), \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*$

și să fie bijectivă.

Din relația de morfism se obține

$xy+m=(x+m)(y+m)-3(x+m)-3(y+m)+12\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow (m-3)(x+y)+(m-3)(m-4)=0, \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow (m-3)(x+y+m-4)=0, \ \forall x,y\in\mathbb{R}^*$

Rezultă $m=3$

Atunci $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}-\{3\}, \ f(x)=x+3$.

Fie $y\in\mathbb{R}-\{3\}$ și ecuația $f(x)=y$.

Rezultă $x=y-3\ne 0\Rightarrow x\in\mathbb{R}^*$, deci ecuația are o singură soluție. Rezultă că funcția este bijectivă.

Explicație pas cu pas: