Question

Rezolvati in multimea nr reale ecuatia:
(x^2 -3x)^2 -2(x^2-3x)-8=0

Answer 1

Notam 
$x^{2}-3x=a$
Atunci
$a^{2}-2a-8=a^{2}-4a+2a-8=a(a-4)+2(a-4)=(a-4)(a+2)=0$
Avem atunci solutiile
1)a=4 adica
$x^{2}-3x=4\Rightarrow x^{2}-3x-4=x^{2}-4x+x-4=x(x-4)+(x-4)=(x-4)(x+1)=0$
Deci avem odata solutiile x=-1 si x=4
2) a=-2, atunci
$x^{2}-3x=-2\Rightarrow x^{2}-3x+2=x^{2}-2x-(x-2)=x(x-2)-(x-2)=(x-1)(x-2)=0$
atunci x poate fi 1 sau 2
Deci in final avem solutiile
x apartine multimii {-1,1,2,4}

Answer 2

(x^2 -3x)^2 -2(x^2-3x)-8=0

Notăm x² - 3x = t, iar ecuația devine:

t² - 2t - 8 = 0 ⇔  t² - 2t +1 - 9 = 0  ⇔ (t - 1)² = 9 ⇔ √(t - 1)² =√9  ⇔

⇔ |t - 1| = 3 ⇔ t - 1 = ± 3

I) t - 1 = -3 ⇔ t = -3 + 1 ⇔ t = -2

II) t - 1 = 3 ⇔ t = 3 + 1 ⇔ t = 4

Revenim asupra notației :


I) x² - 3x = -2 ⇔ x² -3x +2 = 0 ⇔ x² - x - 2x + 2 = 0 ⇔x(x-1) - 2(x -1) = 0

⇔ (x - 1)(x - 2) = 0 ⇔ x = 1  sau  x = 2

II) x² - 3x = 4 ⇔ x² - 3x - 4 = 0 ⇔ x² + x - 4x - 4 = 0 ⇔ x(x+1) - 4(x+1) = 0

⇔(x+1)(x-4) = 0 ⇔ x = -1  sau x = 4


Mulțimea soluțiilor ecuației date este:

M = {-1,  1,  2,  4}.