Question

Rombul ABCD si triunghiul echilateral ADE sunt situate in plane diferite. Notăm cu M si N mijloacele laturilor (AE) si (ED) si cu O centrul rombului. Stabiliți poziția planului (MNO) fata de planul (BEC) si calculati raportul ariilor triunghiurilor MNO si BEC. (M-ar interesa si desenul.)

Answer 1

Desenăm o piramidă patrulateră cu baza ABCD și vârful E.

(Am notat ABCD în sens trigonometric, începând din dreapta sus.)

Fixăm punctele M, N și O.

Punem în evidență triunghiul MNO.

MN- linie mijlocie în ΔEAD ⇒ MN || AD    (1)

AD||BC (laturi opuse ale rombului)    (2)

Din (1), (2) ⇒ MN||BC  și pentru că BC ⊂ (BEC) ⇒ MN||(BEC) 

În triunghiul AEC avem MO - linie mijlocie ⇒ MO||EC și pentru că

EC⊂ (BEC) ⇒ MO|| (BEC)   

MN și MO sunt două drepte concurente paralele cu planul (BEC), deci

(MN, MO)||(BEC) ⇒ (MNO) || (BEC).

Observăm că ΔBEC ~ ΔMON, cu raportul de asemănare k = 2 (datorită liniilor mijlocii care se formează) .

Raportul ariilor va fi egal cu k² =2² = 4 .

Aria(BEC)/Aria(MON) = 4.