Question

Sa se afle cele mai mari numere posibile x, y, z astfel incat 1*2*3*...*40 / 2^x * 3^y * 7^z , sa apartina lui N.

Answer 1

$\displaystyle Deoarece~ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 40}{2^x \cdot 3^y \cdot 7^z} \in \mathbb{N} \Rightarrow 2^x \cdot 3^y \cdot 7^z~|~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot 40. \\ \\ Pentru~ca~x,y,~respectiv~z~sa~fie~maxime,~trebuie~ca~ele~sa \\ \\ reprezinte~exponentul~numerelor~2,~3,~respectiv~7~din~ \\ \\ descompunerea~in~factori~primi~ai~lui~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot 40. \\ \\ Folosim~urmarea~proprietate:$

$\displaystyle Exponentul~numarului~prim~p~din~descompunerea~in~produs~de \\ \\ factori~primi~a~produsului~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot n~este \\ \\ \left[ \frac{n}{p}\right]+\left[ \frac{n}{p^2}\right]+ \left[\frac{n}{p^3} \right]+... \\ \\ ([x]=partea~intreaga~a~lui~x)$

$\displaystyle Deci~2~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[ \frac{40}{2} \right]+\left[\frac{40}{4} \right]+\left[\frac{40}{8} \right]+ \left[ \frac{40}{16}\right]+ \left[\frac{40}{32} \right]+ \left[ \frac{40}{64} \right]+...= \\ \\ =20+10+5+2+1+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =38 \longrightarrow x=38.$

$\displaystyle 3 ~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[\frac{40}{3} \right]+\left[ \frac{40}{9}\right]+\left[ \frac{40}{27}\right]+\left[ \frac{40}{81}\right]+...= \\ \\ =13+4+1+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =18 \longrightarrow y=18. \\ \\ Iar~7~va~avea~exponentul: \\ \\ \left[\frac{40}{7} \right]+\left[\frac{40}{49} \right]+...= \\ \\ =5+0+...(toti~acesti~termeni~sunt~nuli)= \\ \\ =5 \longrightarrow z=5.$

Answer 2

in produsul 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..............40 avem:
puterile lui 2:

2^5=32               ⇒ 1 factor
2^4=16               ⇒ 1 factor
2^3=8,   8;24;40 ⇒ 3 factori
2^2=4,   4;12;20;28;36⇒ 5 factori
2^1=2,   2;6;10;14;18;22;26;30;34;38  ⇒ 10 factori
avem 2^(5+4+3 x 3+5 x 2+10 x 1)=2^38


puterile lui 3:
3^3=27   ⇒ 1 factor
3^2=9   9;18;36 ⇒ 3 factori
3^1=3   3;6;12;15;21;24;30;33;39 ⇒ 9 factori
avem 3^(3+3 x 2+9)=3^18

puterile lui 7
7^1  7;14;21;28;35  ⇒ 5 factori
avem 7^5

prin urmare:
x=38 (puterea lui 2)
y=18 (puterea lui 3)
z=5   (puterea lui 7)
logica a constat in a determina cati factori contin pe 2,3,7 la puterile:
2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 (2^6 >40)
3^1, 3^2, 3^3 (3^4>40)
7^1 (7^2>40)
si mai departe exponentul lui 2, 3 si 7
sper sa fie pe intelesul tuturor care au curiozitatea sa vada rezolvarea.