Question

Sa se afle volumul tetraedrului construit pe vectorii a=(3,2,2),b=(1,-2,-2),c=(0,1,3)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\text{Pentru a calcula volumul unui tetraedru construit pe vectorii }\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{ vom aplica produsul mixt}.$

$\text{Formula produsului mixt este: }(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=<\vec{a},\vec{b}\times\vec{c}>,$$\text{ unde }<\cdot,\cdot>\text{ reprezinta produsul scalar al doi vectori, iar }$$\cdot\times\cdot \text{ reprezinta produsul vectorial al doi vectori}.$

$\text{Fie baza ortonormata }\mathbb{B}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\},\text{ cu }\vec{i}\perp\vec{j}, \vec{j}\perp\vec{k} , \vec{k}\perp\vec{i} \text{ si } ||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1.$

$\text{Calculam produsul vectorial al vectorilor }\vec{b}\text{ si }\vec{c}.$

$\text{Notam }\vec{b}\times\vec{c}=\vec{d}.$

$\vec{d}=\vec{b}\times\vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-2&-2\\0&1&3\end{array}\right|=-6\vec{i}+\vec{k}+2\vec{i}-3\vec{j}=-4\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$

$\text{Calculam acum produsul scalar al vectorilor }\vec{a} \text{ si } \vec{d}.$

$\text{Aplicam proprietatile produsului scalar: }\\1) <\vec{x}+\vec{y}, \vec{v}+\vec{w}>=<\vec{x},\vec{v}>+<\vec{x},\vec{w}>+<\vec{y},\vec{v}>+<\vec{y},\vec{w}>, \forall \vec{x},\vec{y},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{R}^3\\2) <\alpha\vec{x},\beta\vec{y}>=\alpha\cdot\beta\cdot<\vec{x},\vec{y}>,  \forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^3,~\forall a,b\in\mathbb{R}\\3) <\vec{x},\vec{y}>=0, \forall\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^3 \text{ daca } \vec{x}\perp\vec{y}\\4) <\vec{x},\vec{x}>=||\vec{x}||^2, \forall\vec{x}\in\mathbb{R}^3$

$<\vec{a},\vec{d}>=<3\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},-4\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}>=<3\vec{i},-4\vec{i}>+<3\vec{i},-3\vec{j}>+<3\vec{i},\vec{k}>+<2\vec{j},-4\vec{i}>+<2\vec{j},-3\vec{j}>+<2\vec{j},\vec{k}>+<2\vec{k},-4\vec{i}>+<2\vec{k},-3\vec{j}>+<2\vec{k},\vec{k}>=3\cdot (-4)\cdot <\vec{i},\vec{i}>+2\cdot(-3)\cdot <\vec{j},\vec{j}>+2\cdot <\vec{k},\vec{k}>=-12||\vec{i}||^2-6||\vec{j}||^2+2||\vec{k}||^2=-12-6+2=-16$

$\text{Calculam volumul cu ajutorul formulei: }\mathcal{V}=\frac{1}{6}\cdot|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|.$

$\text{Inlocuim numeric si avem: }$

$\mathcal{V}=\frac{1}{6}\cdot|-16|=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$