Question

Sa se arate ca daca intr-un triunghi ABC au loc relatiile a+b=2c si sinA+sinB=radical din 3 , triunghiul este echilateral.

Answer 1

Din teorema sinusurilor stim ca
$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$
De unde rezulta ca
$a=2R\sin{A}$
$b=2R\sin{B}$
$c=2R\sin{C}$
Atunci prima ecuatie devine
$2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}$ impartim prin 2R
$\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60$
Mai stim ca
$\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
$A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)$
Si mai stim ca in general
$\cos{(\pi-x)}=\cos{x}$
Atunci
$\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}$ 
Mai stim urmatoarea relatie
$\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}$ atunci
$\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Inlocuim in ecuatia de mai sus
$\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B$
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.