Question

sa se arate că șirul a
$(a \: indice \: n)n \geqslant 1$
de termen general
$a \: indice \: n = {n}^{2} - n \:$
Este strict monoton. dau coroana !

Answer 1

$a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)=n^2+2n+1-n-1=n^2+n$

$a_n=n^2-n$

$a_{n+1}-a_n=n^2+n-(n^2-n)=n^2+n-n^2+n=2n$

Cum n≥1, atunci 2n≥2.

Deci:

$a_{n+1}-a_n\geq 2$

Adica:

$a_{n+1}-a_n>1$

Deci sirul este strict crescator.

Answer 2

an=n²-n=n(n-1)

bn=n strict crescator (n+1-n=1>0)

cn=n-1, strict crescator (n-(n-1)=1>0)

produsul a doua siruri crescatoare este strict crescator

as simple as that!!

altfel

fie an=n²-n, :N->Q, un sir (un sir este o functie definita pe N)

fie extensia acestei functii

f(x)=x²-x ;R->R, functiede gradul 2,. a carei monotonie a fost studita in cla 9-a

x²-x este crescatoare pt x>1/2 deci si pt x>1

adica ∀x1<x2, f(x1) <f(x2)

atunci si ∀n1<n2, f(n1)<f(n2), sirul este crescator