Question

Să se calculeze $\int 4 x^{3}\left(x^{4}-2\right)^{3} d x, x \in \mathbb{R}$.

Answer 1

Presupunând ca știi formulele și sa aplici părți avvem

f(x)=4x³ f'(x)=12x²

g'(x)=(x⁴-2)³ g(x)=inttegrala din asta, adica

Notam x⁴-2 cu t, și avvem integrala din t³= t⁴/4

Deci vine

x³(x⁴-2)⁴-3 integrala din x²*(x⁴-2)⁴dx

Aplicam din nou părți cu

Fx=x² f'x=2x

G'x=x⁴-2)⁴ gx= integrala din asta, la fel notam x⁴-2 cu t și avem t^5/5

Adica avem

x²[(x⁴-2)^5]/5 - 2/5 integrala din x(x4-2)^5dx

Aplicam din nou părții cu

Fx=x f'x=1

G'x=(x⁴-2)^5 gx= integrala din astta, la fel notam cu t și avem t la a6a/6

Adică avem

x[(x⁴-2)^6]/6-1/6 integrala din t la a6a adică t la a7a/7

Adica avem

x[(x⁴-2)^6]/6- [(x⁴-2)^7]/7

Si tot asa calculezi pana la Sf, adica ai de calculat

x³(x⁴-2)⁴—3{x²[(x⁴-2)ⁿ]/5—2/5[x[(x⁴-2)^6]/6-[(x⁴-2)^7]/7 ] }

PS: la părți poți sa iei pe care vrei ca și f(x) și g(x) pentru ca ambele vor da la fel

La cum le am ales eu e foarte greu sa ajung la o forma simpla..

Dacă am greșit la calcule sa ma corecteze cineva

Sper ca te am ajutat

Have a nice dayyyya 9️⃣