Question

Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S3 este permutare impară.

Answer 1

Stim ca paritatea unei permutari este data de functia:

$\epsilon(\sigma)=(-1)^{m(\sigma)}=\[\left\begin{cases}1, & \mbox{daca permutarea este para}\\-1,&\mbox{daca permutarea este impara}\end{cases}$

Unde m(σ) este numarul de inversiuni.

Avem urmatoarea proprietate:

$\epsilon(\sigma\cdot\tau)=\epsilon(\sigma)\cdot\epsilon(\tau)$

Cardinalul multimii S₃ este card(S₃) = 3! = 6

$S_3=\{\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_6\}$

$P=\epsilon(\sigma_1\cdot\sigma_2\cdot...\cdot\sigma_6)=\epsilon(\sigma_1)\cdot\epsilon(\sigma_2)\cdot...\cdot\epsilon(\sigma_6)$

Stim ca jumatate din permutari sunt pare iar in cealalta jumatate sunt permutari impare. Asadar, stiind ca nu conteaza ordinea in care facem inmultirea, produsul va fi:

$P=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot1\cdot1\cdot1=-1$

Asadar, produsul tuturor permutarilor este o permutare impara. Daca in loc de S₃ aveam S₄, produsul ar fi fost P = 1 si permutarea ar fi fost para. Se poate observa ca paritatea produsului tuturor permutarilor dintr-o multime Sn depinde de paritatea lui n. In cazul nostru, produsul permutarilor era impar deoarece 3 este impar.