Question

Sa se demonstreze inegalitatile:


$log_{x}\frac{2xy}{x+y} + log_{y}\frac{2xy}{x+y} \geq 2 \\ x,y\ apartin (0,1)$


Mersi!.

Answer 1

Răspuns:

asa este, asa mi-a dat si mie!!

Explicație pas cu pas:

pt x=y,

log in baza x din x+login baz x dinx=1+1=2≤2

pt

0<x<y<1

avem

log in baza x din( 2xy/(x+y))+log in baza y din( 2xy/(x+y))≥

≥ 2log in baza y din( 2xy/(x+y))=

=2log in baza y din(m.g.²/m.a.)***

dar mg²<mg pt ca  0<x<y<1

deci

2log in baza y din(m.g.²/m.a)>2log in baza y din(m.g./m.a)

mg≤y<1 , m.g/m.a<1 deci

log in baza y din(m.g./m.a)>1

si 2log in baza y din(m.g./m.a)>2*1=2

deci relatia sde verifica

prin m.g. si m. a. am inteles media geometrrica si, respectiv, aritmetica a numerelor si si y